若关于x的方程(九年级:三角函数与方程(组))

若关于x的方程

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1. 已知y=(cosα)x2-4(sinα)x+6,
对于任意实数x,都有y>0,且α是三角形的一个内角,求α的取值范围.

解析 因对任意实数x,二次函数
y=(cosα)x2-4(sinα)x+6
恒大于0,所以cosα>0,

并且△=(4 sinα)2-24cosα<0,
所以16(1-cos2α)-24cosα<0,
整理得(2cosα-1)(cosα+2)>0.

因cosα+2>0,
故2cosα-1>0, 
cosα>1/2.
所以0°<α<60°.

2. 已知方程
4×2-2(m+1)x+m=0
的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦,试求m的值.

解析 设题中所述的两个锐角为A及B,由题设得

因为sinA=cosB,故

①式两边平方,并利用恒等式
sin2A+cos2A=1,
得(sinA+cosA)2
=1+2sinAcosA
=1+(m+1)2/4.

再由②得
1+m/2=(m+1)2/4,

解得m=±√3.
由cosA>0, 
sinA>0及②知
m>0.
所以m=√3.

3. 已知 Rt△ABC中, ∠C=90°, sinA+sinB=m,
求证:2sinAsinB=(m2-1)/2.

解析 因为A+B=90°,
所以 sinA=cosB, cosA=sinB.

从而 sin2A+sin2B 
=sin2A+cos2A=1.

又sinA+sinB=m,
所以m2=(sinA+sinB)2
=1+2sinAsinB,
即2sinAsinB=(m2-1).

4. 在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,且
(b+c):(c+a):(a+b)=10:15:11,
求sinA:sinB: sinC.

解析 依题意,可将边转化为角. 
设a/sinA=b/sinB=c/sinC=k,则
a=ksinA;b=ksinB;c=ksinC.

于是题中条件化为

令上述比值为t,那么
sinB+sinC=10t; 
sinC+sinA=15t; 
sinA+sinB=11t.

所以有 sinA=8t;
sinB=3t;
sinC=7t,
从而得 sinA:sinB: sinC
=8:3:7.

5.若θ为三角形的最小内角,试求关于x的方程

的所有实根.
解析 原方程显然有根x=0,再求方程

①的实根.
θ为三角形最小内角,
则0°<θ≤60°,
所以1/2≤cosθ<1.

方程①可整理变形为

知f(x)恒大于零,即不存在使方程①成立的实数x.故原方程仅有一个实根x=0.

6.已知函数
y=x2cosα-4xsinα+6
对于任意实数x都有y>0,且α是三角形的一个内角,
求 cosα 的取值范围.

解析 由于方程没有实数根,
(4sinα)2-24cosα<0.

并根据 sin2α+cos2α=1,
可以得到 2cos2α+3cosα-2>0.

因此 cosα>0.5或cosα<-2.
由于 0<cosα<1,
所以 0<cosα<0.5.

三连一下,一起过夏天~

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